等比数列の和の計算：一般項と和 S_n（公比が分数でも正確に）

初項 a、公比 r、項数 n のとき、 r ≠ 1 なら S n ＝ a(r n − 1) ÷ (r − 1) （r ＜ 1 なら a(1 − r n ) ÷ (1 − r) と書くことが多い）。 r ＝ 1 なら S n ＝ na です。

a n ＝ a × r n−1 。初項 3・公比 2 なら、第10項は 3 × 2 9 ＝ 1,536 です。

S ＝ a ＋ ar ＋ … ＋ ar n−1 と、両辺に r をかけた rS ＝ ar ＋ ar 2 ＋ … ＋ ar n の差をとると、間の項が消えて rS − S ＝ ar n − a になるからです。

公比の絶対値が1より小さい（−1 ＜ r ＜ 1）とき、項を限りなく足すと和は a ÷ (1 − r) に近づきます。1 ＋ 1/2 ＋ 1/4 ＋ … ＝ 2。高校の数学Ⅲで学びます。

等差数列・等比数列は 高校の数学B （数列）、無限等比級数は数学Ⅲです（文部科学省 学習指導要領解説）。

最終確認：2026年10月3日高等学校学習指導要領解説数学編（数学B 数列）

初項・公比・項数を入れると、等比数列の和 S_n と第 n 項を、公式に数を入れた式つきで出します。公比が 1/2 などの分数でも分数のまま正確に。無限等比級数の和と、最初の20項の表つき。

数値を入れる

初項 3・公比 2 の10項までの和

3,069

和 S_n ＝ a(rⁿ − 1) ÷ (r − 1) ＝ 3 × {2¹⁰ − 1} ÷ {2 − 1} ＝ 3,069

第10項 a_n ＝ a × rⁿ⁻¹ ＝ 3 × 2⁹ ＝ 1,536

|r| ≥ 1 なので、限りなく足しても和は一定の値に近づきません

等比数列（初項3、公比2）の第10項は1,536、10項までの和は3,069

項数が20より多いときは、最後の項と和も表の下に出します。

等比数列の和の公式は？

初項 a、公比 r、項数 n のとき、r ≠ 1 なら S_n ＝ a(rⁿ − 1) ÷ (r − 1)（r ＜ 1 なら a(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) と書くことが多い）。r ＝ 1 なら S_n ＝ na です。

一般項（第 n 項）は？

a_n ＝ a × rⁿ⁻¹。初項 3・公比 2 なら、第10項は 3 × 2⁹ ＝ 1,536 です。

公式はどうして成り立つのですか。

S ＝ a ＋ ar ＋ … ＋ arⁿ⁻¹ と、両辺に r をかけた rS ＝ ar ＋ ar² ＋ … ＋ arⁿ の差をとると、間の項が消えて rS − S ＝ arⁿ − a になるからです。

無限等比級数の和とは？

公比の絶対値が1より小さい（−1 ＜ r ＜ 1）とき、項を限りなく足すと和は a ÷ (1 − r) に近づきます。1 ＋ 1/2 ＋ 1/4 ＋ … ＝ 2。高校の数学Ⅲで学びます。

何年生で習いますか。

等差数列・等比数列は高校の数学B（数列）、無限等比級数は数学Ⅲです（文部科学省学習指導要領解説）。

適用年度：高等学校学習指導要領（平成30年告示）最終確認：2026年10月3日

本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。