二次方程式の計算：解の公式で解く（途中式・判別式・グラフ）

Q: 解の公式とは？

二次方程式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 の解を、係数 a・b・c から直接求める式で、 x ＝ {−b ± √(b 2 − 4ac)} ÷ 2a です。因数分解できない方程式も解けます。中学3年で学びます。

Q: 解の公式の使い方は？

式を ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 の形にして、a・b・c を 符号ごと 代入します。2x 2 − 5x ＋ 1 ＝ 0 なら a ＝ 2、b ＝ −5、c ＝ 1 で、x ＝ {5 ± √(25 − 8)} ÷ 4 ＝ (5 ± √17)/4 です。

Q: b が偶数のときの公式は？

b ＝ 2b′ とおくと x ＝ {−b′ ± √(b′ 2 − ac)} ÷ a と簡単になります。x 2 ＋ 4x − 7 ＝ 0 なら b′ ＝ 2 で、x ＝ −2 ± √(4 ＋ 7) ＝ −2 ± √11 。どちらの公式でも答えは同じです。

Q: 判別式とは？

D ＝ b 2 − 4ac （解の公式の √ の中）です。D ＞ 0 なら異なる2つの実数解、D ＝ 0 なら重解、D ＜ 0 なら実数の解はありません。高校の数学Ⅱでは、D ＜ 0 のとき2つの 虚数解 （i を使った解）があると学びます。

Q: √ の中がマイナスになったら？

中学の範囲では「解なし」です。高校の数学Ⅱでは、2乗すると −1 になる数 i（虚数単位）を使い、x 2 ＋ 2x ＋ 5 ＝ 0 の解は x ＝ −1 ± 2i と表します。

最終確認：2026年10月3日文部科学省中学校学習指導要領解説数学編（第3学年二次方程式）・高等学校数学Ⅱ

ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 の a・b・c を入れると、解の公式に代入した途中式と答えを出します。√ を簡単にした正確な形と小数、判別式、因数分解、虚数解（数学Ⅱ）、放物線のグラフも。分数・小数の係数もそのまま入れられます。

数値を入れる

a（x² の係数）: 0 以外
b（x の係数）: ない項は 0
c（数だけの項）: −3・0.5・1/2 も

2x² − 5x ＋ 1 ＝ 0 の解

x ＝ 5 ± √174

a ＝ 2、b ＝ −5、c ＝ 1

判別式 D ＝ b² − 4ac ＝ (−5)² − 4 × 2 × 1 ＝ 17。0より大きいので、異なる2つの実数解

解の公式 x ＝ −(−5) ± √172 × 2 ＝ 5 ± √174

小数では x ≒ 0.2192、2.2808

2つの解の和＝ −b/a ＝ 5/2、積＝ c/a ＝ 1/2（解と係数の関係・数学Ⅱ）

2x² − 5x ＋ 1 ＝ 0 の解: x = (5 ± √17)/4

グラフ（放物線 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c）

※ x 軸と交わる点の x 座標が、方程式の実数解です。交わらなければ実数の解はありません。グラフは形がわかるように、縦と横の目盛りを変えています。

解の公式

ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 の解は　x ＝ −b ± √(b² − 4ac)2a

解の公式の導き方（平方完成）

1	ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 の両辺を a でわる: x² ＋ bax ＋ ca ＝ 0
2	ca を右へ移す: x² ＋ bax ＝ −ca
3	x の係数の半分の2乗 (b2a)² を両辺に足す: (x ＋ b2a)² ＝ b² − 4ac4a²
4	平方根をとる: x ＋ b2a ＝ ±√(b² − 4ac)2a
5	b2a を右へ移す: x ＝ −b ± √(b² − 4ac)2a

学習指導要領解説では、x² ＋ 4x − 7 ＝ 0 のように「平方の形に変形して解く」手順と見比べながら、解の公式が導かれる過程を知ることを大切にしています（中学3年）。

判別式 D ＝ b² − 4ac と解の個数

D	解	グラフと x 軸
D ＞ 0	異なる2つの実数解	2点で交わる
D ＝ 0	重解（1つ）	1点で接する
D ＜ 0	実数解なし（虚数解2つ）	交わらない

ルート（平方根）素因数分解分数の計算三平方の定理（直角三角形）数学の計算（一覧）つるかめ算比の計算・比例配分

よくある質問

解の公式とは？

二次方程式 ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 の解を、係数 a・b・c から直接求める式で、x ＝ {−b ± √(b² − 4ac)} ÷ 2a です。因数分解できない方程式も解けます。中学3年で学びます。

解の公式の使い方は？

式を ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 の形にして、a・b・c を符号ごと代入します。2x² − 5x ＋ 1 ＝ 0 なら a ＝ 2、b ＝ −5、c ＝ 1 で、x ＝ {5 ± √(25 − 8)} ÷ 4 ＝ (5 ± √17)/4 です。

b が偶数のときの公式は？

b ＝ 2b′ とおくと x ＝ {−b′ ± √(b′² − ac)} ÷ a と簡単になります。x² ＋ 4x − 7 ＝ 0 なら b′ ＝ 2 で、x ＝ −2 ± √(4 ＋ 7) ＝ −2 ± √11。どちらの公式でも答えは同じです。

判別式とは？

D ＝ b² − 4ac（解の公式の √ の中）です。D ＞ 0 なら異なる2つの実数解、D ＝ 0 なら重解、D ＜ 0 なら実数の解はありません。高校の数学Ⅱでは、D ＜ 0 のとき2つの虚数解（i を使った解）があると学びます。

√ の中がマイナスになったら？

中学の範囲では「解なし」です。高校の数学Ⅱでは、2乗すると −1 になる数 i（虚数単位）を使い、x² ＋ 2x ＋ 5 ＝ 0 の解は x ＝ −1 ± 2i と表します。

出典と適用年度

適用年度：中学校学習指導要領（平成29年告示）・高等学校学習指導要領（平成30年告示）最終確認：2026年10月3日

文部科学省: 中学校学習指導要領（平成29年告示）解説数学編（第3学年二次方程式：解の公式を知り，それを用いて二次方程式を解くこと）
文部科学省: 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編（数学Ⅱ いろいろな式：複素数の四則計算、二次方程式の解の種類の判別及び解と係数の関係）

本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。