ポアソン分布の確率の計算：ちょうど k 回・k 回以下・k 回以上

決まった時間や範囲の中で、 まれな出来事が平均 λ 回起こるとき、実際に起こる回数 X の分布です。1時間に平均5件かかってくる電話が、ある1時間にちょうど2件になる確率などを表します。

P(X ＝ k) ＝ e −λ × λ k ÷ k! （e ≒ 2.718 は自然対数の底）。λ ＝ 5、k ＝ 2 なら e −5 × 25 ÷ 2 ≒ 0.0842 。Excel の =POISSON.DIST(2, 5, FALSE) と同じです。

ポアソン分布では 平均も分散も λ 、標準偏差は √λ です。λ ＝ 5 なら平均5回、標準偏差 約2.24回。

試行回数 n が大きく、1回の確率 p が小さいとき、 二項分布 B(n, p) は λ ＝ np のポアソン分布 で近似できます。たとえば n ＝ 1,000、p ＝ 0.002 なら λ ＝ 2 です。

最終確認：2026年10月3日Microsoft サポート（POISSON.DIST 関数）

平均 λ（決まった時間に平均何回起こるか）と回数 k を入れると、ポアソン分布の確率を式つきで出します。k 回以下・以上、平均・分散と、分布の表（棒グラフ）も。Excel の POISSON.DIST と同じ値です。

数値を入れる

平均 5回のとき、ちょうど2回起こる確率

0.0842

P(X ＝ 2) ＝ e⁻⁵ × 5² ÷ 2! ≒ 0.0842（8.42%）

2回以下 P(X ≤ 2) ＝ 0.1247・2回以上 P(X ≥ 2) ＝ 0.9596

平均＝分散＝ λ ＝ 5・標準偏差 √λ ≒ 2.2361

Excel: =POISSON.DIST(2, 5, FALSE)（2回以下なら TRUE）

ポアソン分布（平均5回）でちょうど2回: 0.0842（8.42%）

k	P(X ＝ k)	P(X ≤ k)
0	0.0067	0.0067
1	0.0337	0.0404
2	0.0842	0.1247
3	0.1404	0.2650
4	0.1755	0.4405
5	0.1755	0.6160
6	0.1462	0.7622
7	0.1044	0.8666
8	0.0653	0.9319
9	0.0363	0.9682
10	0.0181	0.9863
11	0.0082	0.9945
12	0.0034	0.9980
13	0.0013	0.9993
14	0.0005	0.9998
15	0.0002	0.9999
16	4.91×10⁻⁵	1.0000

※ 確率は小数第5位を四捨五入。とても小さい値は 10 のべき乗で表示。

ポアソン分布とは何ですか。

決まった時間や範囲の中で、まれな出来事が平均 λ 回起こるとき、実際に起こる回数 X の分布です。1時間に平均5件かかってくる電話が、ある1時間にちょうど2件になる確率などを表します。

ポアソン分布の式は？

P(X ＝ k) ＝ e^−λ × λ^k ÷ k!（e ≒ 2.718 は自然対数の底）。λ ＝ 5、k ＝ 2 なら e⁻⁵ × 25 ÷ 2 ≒ 0.0842。Excel の =POISSON.DIST(2, 5, FALSE) と同じです。

平均と分散は？

ポアソン分布では平均も分散も λ、標準偏差は √λ です。λ ＝ 5 なら平均5回、標準偏差約2.24回。

二項分布との関係は？

試行回数 n が大きく、1回の確率 p が小さいとき、二項分布 B(n, p) は λ ＝ np のポアソン分布で近似できます。たとえば n ＝ 1,000、p ＝ 0.002 なら λ ＝ 2 です。

「k 回以上」の確率は？

1 − P(X ≤ k − 1) です。この計算機は、とても小さな確率でも桁が落ちないように、k 回目から上を直接足して出しています。

適用年度：Excel POISSON.DIST 関数最終確認：2026年10月3日

本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。