幾何分布・負の二項分布の計算：何回目に初めて成功するか・r回成功までの失敗数

成功確率 p の試行をくり返すとき、 初めて成功するのが何回目か の分布です。k 回目に初めて成功する確率は (1 − p) k−1 × p。サイコロで初めて6が出るのが3回目なら (5/6) 2 × 1/6 ≒ 0.1157 です。

1/p 回 です（分散は (1 − p)/p 2 ）。成功確率が 1/6 なら、平均6回目に初めて成功します。

r 回成功するまでに何回失敗するか の分布です。失敗が k 回の確率は k+r−1 C k p r (1 − p) k 。r ＝ 1 のときが幾何分布（失敗の回数で数えた形）です。

1 − (1 − p) k です。p ＝ 0.2 なら、3回目までに成功する確率は 1 − 0.8 3 ＝ 0.488 です。

最終確認：2026年10月3日Microsoft サポート（NEGBINOM.DIST 関数）

1回の成功確率 p を入れると、k 回目に初めて成功する確率（幾何分布）や、r 回成功するまでに k 回失敗する確率（負の二項分布）を出します。k 回目までに成功する確率、平均・分散、分布の表も。Excel の NEGBINOM.DIST と同じ値です。

数値を入れる

成功確率 0.2 で、3回目に初めて成功する確率

0.1280

P(X ＝ 3) ＝ (1 − p)² × p ＝ 0.1280（12.80%）

3回目までに成功 P(X ≤ 3) ＝ 1 − (1 − p)³ ＝ 0.4880・3回目でもまだ P(X ＞ 3) ＝ 0.5120

平均 1/p ＝ 5回・分散 (1 − p)/p² ＝ 20

Excel: =NEGBINOM.DIST(2, 1, 0.2, FALSE)（失敗が2回の後に成功）

幾何分布 p＝0.2: 3回目に初めて成功 12.80%

k	P(X ＝ k)	P(X ≤ k)
1	0.2000	0.2000
2	0.1600	0.3600
3	0.1280	0.4880
4	0.1024	0.5904
5	0.0819	0.6723
6	0.0655	0.7379
7	0.0524	0.7903
8	0.0419	0.8322
9	0.0336	0.8658
10	0.0268	0.8926
11	0.0215	0.9141
12	0.0172	0.9313
13	0.0137	0.9450
14	0.0110	0.9560
15	0.0088	0.9648
16	0.0070	0.9719
17	0.0056	0.9775
18	0.0045	0.9820
19	0.0036	0.9856
20	0.0029	0.9885
21	0.0023	0.9908
22	0.0018	0.9926
23	0.0015	0.9941
24	0.0012	0.9953
25	0.0009	0.9962
26	0.0008	0.9970
27	0.0006	0.9976
28	0.0005	0.9981
29	0.0004	0.9985
30	0.0003	0.9988
31	0.0002	0.9990

※ 確率は小数第5位を四捨五入。とても小さい値は 10 のべき乗で表示。

幾何分布とは？

成功確率 p の試行をくり返すとき、初めて成功するのが何回目かの分布です。k 回目に初めて成功する確率は (1 − p)^k−1 × p。サイコロで初めて6が出るのが3回目なら (5/6)² × 1/6 ≒ 0.1157 です。

幾何分布の平均は？

1/p 回です（分散は (1 − p)/p²）。成功確率が 1/6 なら、平均6回目に初めて成功します。

負の二項分布とは？

r 回成功するまでに何回失敗するかの分布です。失敗が k 回の確率は _k+r−1C_k p^r(1 − p)^k。r ＝ 1 のときが幾何分布（失敗の回数で数えた形）です。

Excel では？

=NEGBINOM.DIST(失敗数, 成功数, p, FALSE) です。ヘルプの例（失敗10・成功5・p ＝ 0.25）は 0.0550、累積で 0.3135 で、このページと同じです。幾何分布は成功数を1にします。

「k 回目までに成功する」確率は？

1 − (1 − p)^k です。p ＝ 0.2 なら、3回目までに成功する確率は 1 − 0.8³ ＝ 0.488 です。

適用年度：Excel の関数の使用例で確認最終確認：2026年10月3日

Microsoft サポート: NEGBINOM.DIST 関数（負の二項分布・使用例）
文部科学省: 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編（数学Ⅰ データの分析：分散・標準偏差・相関係数／数学B 統計的な推測：二項分布・正規分布）

本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。