三角形の内接円・外接円の半径の計算：3辺・正三角形・直角三角形から（図つき）
三角形の3辺の長さから、内接円の半径 rと外接円の半径 Rを出します。r ＝ 面積 ÷ s、R ＝ abc ÷ 4 × 面積。√ のまま正確な値と小数、入れた数どおりの図つき。正三角形・直角三角形もかんたんに。
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外接円の半径（3辺 5・6・7）
35√624
s ＝ (a ＋ b ＋ c) ÷ 2 ＝ 9、面積 S ＝ √{s(s − a)(s − b)(s − c)} ＝ 6√6 ≒ 14.6969cm2
内接円の半径 r ＝ S ÷ s ＝ 2√6/3 ≒ 1.633cm（S ＝ 1/2 × r × (a ＋ b ＋ c) より）
外接円の半径 R ＝ abc ÷ 4S ＝ 35√6/24 ≒ 3.5722cm（正弦定理 a ÷ sin A ＝ 2R より）
鋭角三角形なので、外接円の中心（外心）は三角形の内側にあります
内接円の面積 πr2 ≒ 8.3776cm2・外接円の面積 πR2 ≒ 40.088cm2
3辺5・6・7の三角形: 内接円の半径2√6/3、外接円の半径35√6/24図（入れた数のとおりに描きます）
内接円・外接円の半径の公式
| 求めるもの | 公式 |
|---|---|
| 内接円の半径 r | r ＝ S ÷ s（S は面積、s ＝ (a ＋ b ＋ c) ÷ 2）。面積 S ＝ 1/2 × r × (a ＋ b ＋ c) から |
| 外接円の半径 R | R ＝ abc ÷ 4S、または 正弦定理 a ÷ sin A ＝ 2R から R ＝ a ÷ (2 sin A) |
| 直角三角形 | R ＝ 斜辺 ÷ 2、r ＝ (a ＋ b − 斜辺) ÷ 2（a・b は直角をはさむ辺） |
| 正三角形（1辺 a） | r ＝ √3/6 × a、R ＝ √3/3 × a（R は r の2倍） |
内接円の中心（内心 I）は3つの角の二等分線の交点、外接円の中心（外心 O）は3辺の垂直二等分線の交点です（数学A）。
よくある質問
内接円の半径の求め方は？
三角形の面積を S、3辺の和の半分を s ＝ (a ＋ b ＋ c) ÷ 2 とすると、r ＝ S ÷ s です。内心と3つの頂点を結ぶと、高さ r の三角形3つに分かれるので、S ＝ 1/2 × r × (a ＋ b ＋ c) が成り立ちます。辺が 3・4・5 なら S ＝ 6、s ＝ 6 で r ＝ 1 です。
外接円の半径の求め方は？
正弦定理 a ÷ sin A ＝ 2R から R ＝ a ÷ (2 sin A)。3辺がわかっているときは R ＝ abc ÷ 4S（S は面積）でも出せます。辺が 5・6・7 なら S ＝ 6√6 で、R ＝ 210 ÷ 24√6 ＝ 35√6/24 ≒ 3.57 です。
直角三角形の外接円の半径は？
外接円の中心は斜辺の中点になるので、R ＝ 斜辺 ÷ 2 です（直径が斜辺）。3・4・5 の直角三角形なら R ＝ 2.5 です。
正三角形の内接円・外接円は？
1辺を a とすると、内接円の半径 r ＝ √3/6 × a、外接円の半径 R ＝ √3/3 × a で、R はちょうど r の2倍です。1辺 6 なら r ＝ √3、R ＝ 2√3 です。
外心が三角形の外に出るのはどんなとき？
鈍角三角形のときです。直角三角形では斜辺の上（中点）、鋭角三角形では三角形の内側にあります。内心はいつも三角形の内側です。
出典と適用年度
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編（数学Ⅰ 図形と計量：三角比、正弦定理・余弦定理）
- 文部科学省
- 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編（数学A 場合の数と確率・ユークリッドの互除法）
本ツールの整数・分数の計算は誤差なしで行い、終わりのない小数は表示した桁で四捨五入しています。授業やテストでの答えの書き方（分数のまま・帯分数・根号の形など）は、先生や問題の指示に従ってください。
要点
- 内接円
r ＝ 面積 ÷ s - 外接円
R ＝ abc ÷ 4 × 面積 - 直角三角形
R ＝ 斜辺 ÷ 2 - 習う学年
高校（数学Ⅰ・数学A）